Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли заданная числовая

Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли заданная числовая последовательность бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной

числовой последовательностью.
((7n+3)/(7n+2))^(3n-4)





Внимание, только СЕГОДНЯ!

Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли заданная числовая: 1 комментарий

  1. DimoNTR Автор записи
    Можно найти несколько пределов данной числовой последовательности. Для этого нужно посмотреть, что произойдет с ней при стремлении к бесконечности с разными знаками, и в «опасных» точках. 

    «Опасные» точки сразу видны, это:
    1) n=- frac{2}{7} — знаменатель обращается в 0.
    2) n=0 — по обычаю проверяется эта точка.

    Эта числовая последовательность может быть сведена ко второму замечательному пределу для нахождения пределов:
    lim (1+ frac{1}{x})^x=e (при x∞)

    Выделяем целую часть в дроби:

    frac{7n+3}{7n+2 } = 1 + frac{1}{7n+2 }

    Используем свойство 2-го замечательного предела, но добавляем степени:

    lim (1 + frac{1}{7n+2 })^{3n-4}

    lim (((1 + frac{1}{7n+2 })^{7n+2})^{ frac{1}{7n+2}})^{3n-4} = e^{frac{1}{7n+2} * 3n-4} (при n→∞)

    То есть мы степень не меняли: домножили и разделили.

    Посчитаем, что получилось:

    e^{frac{1}{7n+2} * 3n-4} = e^{ frac{3n-4}{7n+2}} = e^{ frac{n*(3-frac{4}{n}) }{n*(7+frac{2}{n})} } = e^{ frac{3}{7} } (при n→∞)

    Итак: 
    1) n→+∞ предел равен e^{ frac{3}{7} }
    2) n→-∞  предел равен e^{ frac{3}{7} }

    3) n→0 предел равен:
    lim ( frac{7n+3}{7n+2})^{3n-4} =  (frac{3}{2})^{-4} = (frac{2}{3})^{4} = frac{16}{81}

    4) n- frac{2}{7}
    По правило Лопиталя имеем: 0 (не расписывал, поскольку это очень много и неважно в данном случае, нас это не интересует).

    Мы видим, что при стремлении к бесконечности с разными знаками, мы имеем конечное число. В «опасных» точках, скачков нет.

    Используя свойства показательной функции, находим, что график делает скачок в некотором интервале (основание должно быть неотрицательным числом, если же взять число из интервала - frac{3}{7}  leq x leq - frac{2}{7} — мы получаем отрицательное основание).

    Можно говорить, что данная числовая последовательность является неограниченной (из-за этого интервала).

    Если же этого не учитывать, то данная числовая последовательность является ограниченной (это очень грубо).

Обсуждение закрыто.